Höhere Mathematik für Physiker (Giannakopoulos)

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Höhere Mathematik für Physiker

Viersemestrige Vorlesung für Physiker gehalten von Dr. Fotios Giannakopoulos

vom Wintersemester 2007 bis Sommersemester 2009

Dies sind geTeXte Vorlesungsmitschriften.

LaTeX: stud. rer. nat. David Mülheims, überführt ins Wiki-Format mit Hilfe des Latex2Qwiki-Python-Skriptes des Quantum-Wikis. [[1]]

Inhalt

Hier sind die einzelnen Teilabschnitte der Vorlesung, in die ich den Stoff eingeteilt habe.

Korrekturen und Ergänzungen sind ebenso wie Erweiterungen und Aktualisierungen ausdrücklich erwünscht!

• Erstes Semester

1. Grundlagen
   1. Grundbegriffe
   2. Mengen
   3. Gruppen und Körper
   4. Reelle Zahlen
   5. Der Betrag
   6. Gleichungen und Ungleichungen
   7. Das Vollständigkeitsaxiom
   8. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion
   9. Einige wichtige Summenformeln und Ungleichungen
   10. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
   11. Potenzen mit rationalen Exponenten
   12. Komplexe Zahlen
   13. Funktionen
   14. Polynome
   15. Rationale Funktionen
2. Folgen und Reihen
   1. Folgen
   2. Reihen
   3. Potenzreihen und elementare Funktionen
3. Stetigkeit
   1. Stetigkeit von Funktionen
   2. Stetigkeit reellwertiger Funktionen einer reellen Variablen
   3. Einschub: Trigonometrische Funktionen

• Zweites Semester

1. Lineare Algebra
   1. Vektorräume und Vektoren
   2. Matrizen
   3. Lineare Gleichungssysteme
   4. Determinanten
2. Lineare Abbildungen
   1. Lineare Abbildungen
   2. Spur einer linearen Abbildung
   3. Vektorräume mit Skalarprodukt
   4. Unitäre Abbildungen und Matrizen
   5. Hermitesche Abbildungen
3. Differentialrechnung
   1. Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen: Die Ableitung
   2. Anwendungen
4. Integralrechnung
   1. Integration in
   2. Das bestimmte Integral
   3. Uneigentliche Integrale
   4. Die Gammafunktion
5. Differentialgleichungen
   1. Einführung in die Theorie gewöhnlicher DGL
   2. Lineare DGL erster Ordnung
   3. Lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
6. Höherdimensionale Analysis
   1. Funktionen mehrerer Variablen
   2. Konvergente Folgen in
   3. Kurven im

• Drittes Semester

1. Differentialrechnung im
   1. Richtungsableitungen
   2. Partielle Ableitungen
   3. Totale Differenzierbarkeit
   4. Differentiationsregeln
   5. Der Mittelwertsatz
   6. Höhere partielle Ableitungen
   7. Taylor-Formel
   8. Lokale Extrema
   9. Implizite Funktionen
   10. Lokale Umkehrbarkeit
   11. Niveaumengen
   12. Extrema mit Nebenbedingungen
   13. Skalarfelder und Vektorfelder
2. Integrationstheorie
   1. Kurvenintegrale von Vektorfeldern
   2. Parameterabhängige Integrale
   3. Doppelintegrale und Mehrfachintegrale
   4. Integration im
   5. Riemann-Integrale von beschränkten Funktionen über Jordan-messbare Mengen
   6. Integralsätze in der Ebene
   7. Integralsätze im
   8. Der Satz von Gauß im
3. Differentialgleichungssysteme
   1. Systeme expliziter DGL erster Ordnung
   2. Systeme linearer DGL erster Ordnung

• Viertes Semester

1. Funktionentheorie
   1. Die komplexen Zahlen
   2. Komplexe Funktionen
   3. Möbius-Transformationen
   4. Potenzreihen und einige elementare Funktionen
   5. Komplexe Differentiation
   6. Komplexe Integration
   7. Taylorreihe einer holomorphen Funktion
   8. Laurent-Reihe und isolierte Singularitäten
   9. Der Residuensatz
   10. Berechnung reeller Integrale
2. Fourier-Reihen und Transformationen
   1. Fourier-Reihen und Transformationen
   2. Die Fouriertransformation
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
   1. Der Wahrscheinlichkeitsraum
   2. Elementare Kombinatorik
   3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
   4. Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen
   5. Erwartungswert, Varianz und Streuung
   6. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
   7. Tschebyscheffsche Ungleichung
   8. Unabhängige Zufallsvariable
   9. Das Gesetz der großen Zahlen
   10. Der zentrale Grenzwertsatz