HoeMaFG/D-03-10

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Inhaltsverzeichnis

1 Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Die Hauptaussage dieses Abschnittes ist, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe von Zufallsvariablen in vielen Fällen unter bestimmten Voraussetzungen als annähernd normalverteilt betrachtet werden. Um diese Aussage zu präzisieren, benötigen wir folgende Definition:

Definition

Sei $LaTeX: (\Omega,\mathcal{E},p)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $LaTeX: X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ eine Zufallsvariable mit Erwartungswert $LaTeX: \mu$ und Varianz $LaTeX: \sigma^{2}>0$ . Wir setzen

$LaTeX: X^{\star}:=\frac{X-\mu}{\sigma}$

und nennen $LaTeX: X^{\star}$ standardisierte Zufallsvariable.

Satz

Sei $LaTeX: (\Omega,\mathcal{E},p)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $LaTeX: X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ eine Zufallsvariable mit $LaTeX: E(X)=\mu$ und $LaTeX: V(X)=\sigma^{2}>0$ . Für die standardisierte Zufallsvariable $LaTeX: X^{\star}$ gilt:

$LaTeX: E(X^{\star})=0\qquad\text{und}\qquad V(X^{\star})=1$

Bemerkung:

Für unabhängige Zufallsvariablen $LaTeX: X_{i}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ mit $LaTeX: i\in\left\{ 1,\dots,k\right\}$ und $LaTeX: E(X_{i})=\mu$ und $LaTeX: V(X_{i})=\sigma^{2}$ für alle $LaTeX: i\in\left\{ 1,\dots,k\right\}$ gilt:

$LaTeX: E\left(\sum_{i=1}^{k}X_{i}\right)=k\mu\qquad\text{und}\qquad V\left(\sum_{i=1}^{k}X_{i}\right)=k\sigma^{2}$

Die Aussagen folgen aus der Linearität des Erwartungswertes und aus der Bienaymeschen Gleichung.

Satz (Zentraler Grenzwertsatz)

Seien $LaTeX: X_{i}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ , $LaTeX: i\in\mathbb{N}$ (stochastisch) unabhängige Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $LaTeX: (\Omega,\mathcal{E},p)$ mit $LaTeX: E(X_{i})=\mu$ und $LaTeX: V(X_{i})=\sigma^{2}>0$ für alle $LaTeX: i\in\mathbb{N}$ . Dann gilt für alle $LaTeX: t\in\mathbb{R}$ :

$LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left\{ \omega\in\Omega|\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq t\right\} \right)=\phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intop_{-\infty}^{t}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^{2}}\mathrm{d}x$

Wir sagen: Die standardisierte Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz ist asymptotisch Standardnormalverteilt.

Bemerkung I:

Die Summe $LaTeX: S_{n}$ von n unabhängigen Zufallsvariablen $LaTeX: X_{1},\dots,X_{n}$ mit dem gleichen Erwartungswert $LaTeX: \mu$ und der gleichen Varianz $LaTeX: \sigma^{2}$ ist für hinreichend großes n annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert $LaTeX: E(S_{n})=n\mu$ und der Varianz $LaTeX: V(S_{n})=n\sigma^{2}$ .

Bemerkung II:

Wir bezeichnen mit $LaTeX: \overline{X}^{(n)}$ das arithmetische Mittel von n Zufallsvariablen $LaTeX: X_{1},\dots,X_{n}$ . Ist $LaTeX: E(X_{i})=\mu$ und $LaTeX: V(X_{i})=\sigma^{2}>0$ für alle $LaTeX: i\in\left\{ 1,\dots,n\right\}$ , so gilt

$LaTeX: \overline{X}^{(n)\star}=S_{n}^{\star}$

Bemerkung III:

Seien $LaTeX: X_{i}$ , $LaTeX: i\in\mathbb{N}$ unabhängige Zufallsvariablen mit existierenden Erwartungswerten $LaTeX: E(X_{i})=\mu_{i}$ und Varianzen $LaTeX: V(X_{i})=\sigma_{i}^{2}>0$ . Unter geeigneten Voraussetzungen können wir zeigen: Die Verteilungsfunktion der standardisierten Summe der $LaTeX: X_{i}$ ,

$LaTeX: S_{n}^{\star}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}}}$

konvergiert für $LaTeX: n\rightarrow\infty$ punktweise gegen die Verteilungsfunktion $LaTeX: \phi(t)$ der Standardnormalverteilung. D.h.

$LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(S_{n}^{\star}\leq t\right)=\phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intop_{-\infty}^{t}\exp\left(-\frac{1}{2}\xi^{2}\right)\mathrm{d}\xi$

Dies bedeutet: Die Summe $LaTeX: S_{n}$ von n Zufallsvariablen $LaTeX: X_{1},\dots,X_{n}$ mit existierenden Erwartungswerten $LaTeX: E(X_{1})=\mu_{1},\dots,E(X_{n})=\mu_{n}$ und Varianzen $LaTeX: V(X_{1})=\sigma_{1}^{2}>0,\dots,V(X_{n})=\sigma_{n}^{2}$ ist für hinreichend großes n annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert

$LaTeX: E(S_{n})=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}$

und der Varianz

$LaTeX: V(S_{n})=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}}$

Bemerkung:

Der Grenzwertsatz von Moivre-Laplace für eine binomialverteilte Zufallsvariable $LaTeX: X$ mit den Parametern n und $LaTeX: P$ ist eine Folgerung des zentralen Grenzwertsatzes. Es gilt: Die Verteilungsfunktion $LaTeX: F_{n}(t)$ der standardisierten Zufallsvariablen